- Prolog zum Stand der Literatur
- Lebenswelt: Inanspruchnahme und Suspension
- Vollzug und Reflexion, Naivität und Kritik
- Anfangen, Loslassen und die Kunst des Bogenschießens
- Welt, Wahrnehmung und Halluzinationen
- Lernbegriffsirrwege
- Hirnforschung: Wo die stumme Natur wieder zu sprechen beginnt.
- Informationen, Netzwerke und geschlossene Systeme
- Bewußtsein und Sinn
- Plessner versus Merleau-Ponty: „Es gibt keine Verschmelzung von Denken und Sein“!
- Zur Funktion der Geometrie in Platons Sklavenszene
Ich selbst bin in gewisser Weise ein Opfer dieser Verwirrung, weil ich in zahlreichen Lehrveranstaltungen an der Universität schon so oft versucht habe, meinen Studenten die mathematische Problemstellung verständlich zu machen und dabei immer wieder über die entscheidende mathematische Frage, wie sie Sokrates dem Sklaven stellt, gestolpert bin. Sokrates’ Aufgabenstellung besteht darin, daß der Sklave ein vorgegebenes Quadrat von 2 Fuß Seitenlänge verdoppeln und dann die Seitenlänge des doppelt so großen Quadrates angeben soll: „Wohlan denn, versuche mir zu sagen, wie lang jede Seite desselben sein wird. Die Seite unseres Viereck hier ist zwei Fuß lang; wie lang wird nun aber die Seite des doppelten sein?“ (Menon, 82 St.)
Für jeden geschulten Mathematiker ist wahrscheinlich sofort klar, worin hier das Problem liegt. Aber für einen mathematischen Laien – und der Sklave ist ganz offensichtlich so ein mathematischer Laie – ist dieses Problem ganz und gar nicht so offensichtlich. Die schnelle Antwort, die hier auf der Hand liegt, lautet 4 Fuß, weil man einfach die Seitenlänge verdoppelt, ähnlich wie man die 4 Quadratfuß des gegebenen Quadrats zum 8 Quadratfuß großen Quadrat verdoppelt. Und schon ist man dem Sokrates in die Falle getappt, denn die Antwort ist falsch.
Wenn man, wie ich, mathematischer Laie ist und auch sonst – von den eigenen leidvollen Schulerfahrungen her – eher die Neigung hat, der Mathematik aus dem Weg zu gehen und deshalb nicht so genau hinsieht, greift man zum einen gern auf die Darstellungen anderer zurück, die die Sklavenszene ebenfalls nicht so genau gelesen haben, und reproduziert deren Fehler, oder – wenn man sich denn dazu durchringt, die Sklavenszene selbst zu lesen – man liest sie so oberflächlich, daß einem der Unterschied zwischen der Seitenlänge und der Fläche des doppelt so großen Quadrates nicht bewußt wird und spricht weiterhin – wie ich in meinen Lehrveranstaltungen – nur von der Fläche und nicht von der Seitenlänge. Das ist mir nicht nur selber so ergangen; ich habe es auch immer wieder bei anderen Autoren so gelesen, die Sokrates’ Frage so verdrehten, daß sie ihn nicht nach der Seitenlänge, sondern nach der Fläche fragen ließen.
An dieser Stelle wiederholt Sokrates nochmal seine Aufgabenstellung und deutet dabei schon auf die mögliche Lösung hin: „Sokrates. Also auch die dreifüßige Seite ergibt noch nicht das achtfüßige Quadrat. / Sklave. Offenbar noch nicht. / Sokrates. Aber wie groß muß sie denn sein? Versuche es uns genau anzugeben; und wenn du es nicht ausrechnen willst, so zeige uns in der Figur die betreffende Linie.“ (Menon, 83 St.f. (Hervorhebung – DZ))
Die Zahl, die irgendwo zwischen 2 und 3 Fuß liegen muß, ist nämlich keine normale Zahl mehr, sondern irrational. Der Sklave kann sie gar nicht berechnen, denn jeder Versuch, die Zahl zu bestimmen, führt zu einer endlosen Ziffernreihe. Man kann den Bereich, in dem sich die gesuchte Zahl befindet, immer weiter verkleinern und kommt dann im Verlauf weiterer Rechenschritte auf irgendwo zwischen 2,8 und 2,9 und so immer weiter. Ich weiß von einem Kollegen, der in seinen Lehrveranstaltungen die Studenten immer kleinere Zahlenbereiche berechnen ließ. Das ist sicher eine nützliche mathematische Übung, aber dabei droht man völlig aus dem Auge zu verlieren, daß es Sokrates um etwas völlig anderes ging als um die Bestimmung einer arithmetischen Ziffernfolge.
Denn daß die Seitenlänge arithmetisch nicht auf den Punkt gebracht werden konnte, war für die griechische Philosophie damals ein Desaster. Bis zur Entdeckung der irrationalen Zahlen war man davon ausgegangen, daß alles immer mit ganzen Zahlen berechnet können werden muß. Als man feststellte, daß es Größenverhältnisse gibt, die sich nicht in ganzen Zahlen ausdrücken lassen – und das ist bei der Seitenlänge des 8 Quadratfuß großen Quadrates der Fall –, verlor die Arithmetik ihre bis dahin unbestrittene philosophische Bedeutung (Stichwort Pythagoräer!). Bei Platon trat die Geometrie an die Stelle der Arithmetik und wurde in seiner Akademie zur wichtigsten philosophischen Disziplin.
Warum die Geometrie? Weil mit ihrer Hilfe die gesuchte Seitenlänge konstruiert und so anschaulich gemacht werden konnte. Wenn man durch das gegebene 4 Quadratfuß große Quadrat die Diagonale zieht, hat man die gesuchte Seite des doppelt so großen Quadrates gefunden. Man sieht sie mit seinen eigenen Augen! Man kann zwar immer noch nicht ihre Zahl berechnen, aber man kann sie sehen! Das macht die Geometrie der Arithmetik so überlegen. Was bedeutet das nun für die Lehrbarkeit der Tugend? – Darauf werde ich am Ende dieses Posts zurückkommen.
Zunächst zu Meyer-Drawe: auch sie bezieht sich in „Diskurse des Lernens“ auf die Sklavenszene und liefert eine eigene Deutung. Dabei macht sie den schon beschriebenen Fehler, indem sie die Fragestellung durcheinanderbringt: „Der Sklave soll nämlich dieses Quadrat in seinem Flächeninhalt verdoppeln, ohne dass es seine Gestalt verändert. Vor dem Hintergrund der damaligen Mathematik bedeutet dies, dass nach einer Lösung zu suchen ist, zu der man auf anschaulichem Wege nicht gelangen kann.“ (M.-D. 2008, S.204)
Auch hier haben wir wieder den Bezug auf den Flächeninhalt, nicht auf die Seitenlänge. Das führt bei Meyer-Drawe zu einer seltsamen Problemformulierung, in der das Problem nicht mehr in der Berechenbarkeit, sondern in der Anschaulichkeit liegt. ‚Seltsam‘ mutet es deshalb an, weil es einerseits überhaupt kein Problem bei der Verdopplung der Quadratfläche gibt: das Doppelte von 4 Quadratfuß sind nun mal 8 Quadratfuß. Das kann jedes Kind und auch der Sklave berechnen! Außerdem gibt es überhaupt kein Problem dabei, ein Quadrat zu vergrößern, ohne daß es seine Gestalt verliert; denn auch ein doppelt so großes Quadrat ist immer noch ein Quadrat und kein Trapez oder Raute und auch kein Rechteck mit jeweils nur zwei gleichen Seiten etc.
Auch bei den Zahlen bringt Meyer-Drawe einiges durcheinander. Zunächst wird noch einmal das Problem mit der Seitenlänge angesprochen, – nur daß diese hier nicht mehr das Ziel der Fragestellung ist, sondern nur ein Weg, über den man zu dem gesuchten doppelt so großen Quadrat gelangen kann: „Seine (des Sklaven – DZ) anschauliche Lösung, nämlich die Seitenlänge zu verdoppeln, führt allerdings in die Irre, wie er durch eigene Rechnung bestätigen kann ...“ (M.-D. 2008, S.204) – Für den Sklaven stellt sich also nach Meyer-Drawe zunächst das Problem, das doppelt so große Quadrat über die Berechnung der Seitenlänge zu finden, – nicht etwa, weil ihm Sokrates genau diese Seitenlänge zur Aufgabe gestellt hätte, sondern weil es angeblich einzig und allein um die Verdopplung der Quadratfläche geht und die Berechnung seiner Seitenlänge dabei helfen würde, das doppelt so große Quadrat zu konstruieren.
Dabei bringt Meyer-Drawe auch die arithmetische Inkommensurabilität von Quadrat und Diagonale zur Sprache, – nur eben nicht als aktuelle, vom Sklaven zu bewältigende Aufgabe, sondern als altbekanntes Wissen. (Vgl.M.-D. 2008, S.204) Da es hier also auf die Seitenlänge nicht so sehr ankommt, fällt es dann auch nicht weiter auf, wenn Meyer-Drawe die gesuchte Zahl nicht irgendwo zwischen 2 und 3 verortet, sondern „zwischen 3 und 4“. (Vgl. ebenda)
Die Sklavenszene wird also in ihrer Aufgabenstellung völlig verdreht und sogar die Zahlenverhältnisse werden verfälscht wiedergegeben. Worauf will Meyer-Drawe dann aber hinaus? – Sie führt tatsächlich eine ganz neue Lehrer-Schüler-Konstellation ein, die in der Szene so gar nicht besteht. So wird z.B. aus dem Umstand, daß der Sklave griechisch spricht (vgl.M.-D. 2008, S.203f.), geschlossen, daß er sich in der damaligen griechischen Mathematik gut auskennt. Dann wird auch noch eine in der Sklavenszene gar nicht thematisch werdende Form der Mathematik eingeführt, die der Sklave ‚anwendet‘: „Der Sklave wendet die ihm vertraute Gnomonmathematik an, welche die Sonnenuhr als geometrisches Modell der Welt voraussetzt.“ (M.-D. 2008, S.204)
Aber der Sklave ‚wendet‘ an keiner Stelle irgendetwas ‚an‘! Es ist vielmehr Sokrates, der den Sklaven mit Fragen traktiert und ihm auch gleich selbst die in Betracht kommenden Antworten in den Mund legt, so daß dem Sklaven zumeist nichts anderes übrigbleibt, als mit „Ja!“ und „Nein!“ die Ausführungen des Sokrates zu begleiten und zu bestätigen. Sokrates wiederum zeichnet zwar verschieden große Quadrate in den Sand, um die gesetzmäßigen Größenverhältnisse zwischen ihnen zu veranschaulichen, aber nicht um irgendwelche gnomonmathematische Problemstellungen zu thematisieren, sondern um jene vertrackte Seitenlänge des doppelt so großen Quadrates ausfindig zu machen. Die Gnomonmathematik wird von Meyer-Drawe einfach von außen der Szene hinzugefügt, hat aber mit der von Platon erzählten Szene selbst nicht das geringste zu tun, – es sei denn, man wertet die übereinander gestaffelten Quadrate als Hinweise auf die Gnomonmathematik.
Indem der Sklaven jetzt aber – trotz seiner offensichtlichen mathematischen Unbedarftheit (Sokrates glaubt, ihm eigens erklären zu müssen, was eine Diagonale ist (vgl. Menon, 85 St.)) – zu einem Experten der Gnomonmathematik stilisiert und ihm ein aktiverer Anteil an der Konstruktion der Quadrate zugebilligt wird, als er in der Szene tatsächlich hat, kann nun Sokrates selbst in die Rolle des Schülers versetzt werden, so daß wir jetzt kein einseitiges Lehrer-Schüler-Verhältnis mehr haben: „Aus dem ihm vertrauten Umgang mit der Gnomonmathematik war der Sklave bislang davon überzeugt, durch Ergänzung Flächen unproblematisch vergrößern zu können, ohne dass diese Flächen ihre Gestalt verlieren. Sokrates wird vom Sklaven gleichsam an die vergessenen Möglichkeiten der Gnomonmathematik erinnert, der Sklave an die Grenzen anschaulicher Lösungen. Beide sind benommen: der eine, weil er sich als Nichtwissender in der Sache erkennt, der andere, weil er sich als Unwissender im Hinblick auf eine andere Weise des Wissens durchschaut.“ (M.-D. 2008, S.204)
Damit aber hat Meyer-Drawe den Sinn der ursprünglichen Sklavenszene in sein völliges Gegenteil verkehrt. Anstatt an den Grenzen der Arithmetik mit Hilfe der Geometrie die Bedeutung der Anschauung hervorzuheben und so auch einer Lösung für die Frage nach der Lehrbarkeit der Tugend näher zu kommen, dient die Sklavenszene jetzt ganz im Gegenteil dazu, die Grenzen der Anschauung deutlich zu machen und auf die Wechselseitigkeit des Lehr-Lernprozesses hinzuweisen.
Ich denke, daß ich mit meiner eigenen Deutung näher an der grundlegenden Problemstellung der Sklavenszene dran bin. Zunächst bleibt festzuhalten, daß die Sklavenszene – zusammen mit dem Mythos von der Seelenwanderung – eingeführt wird, um die Frage nach der Lehrbarkeit von Tugend zu beantworten. Zur Lehrbarkeit gehört Sokrates und Menon zufolge deren Definierbarkeit. Nur wohl definiertes Wissen kann auch gelehrt werden. Also muß auch die Tugend, soll sie lehrbar sein, eine Form des Wissens sein. Interessant ist nun, daß im Anschluß an die Sklavenszene die Frage nach der Definition der Tugend keine Rolle mehr spielt. Im Folgenden wird nur noch die Lehrbarkeit diskutiert, nicht aber mehr die Definierbarkeit der Tugend.
Irgendwie scheinen also Menon und Sokrates der Ansicht zu sein, daß mit dem Mythos von der Seelenwanderung und aufgrund der Sklavenszene die Frage nach der Definierbarkeit von Tugend nicht mehr so dringend sei. Ich habe jedenfalls den Eindruck, daß Sokrates hier zumindestens eine vorläufige Klärung herbeigeführt zu haben glaubt. Und diese besteht nach meiner Ansicht nicht in der Arithmetik, also in den Zahlen – die sich ja als ‚irrational‘ erwiesen haben –, sondern in der Geometrie. Die Geometrie basiert aber auf Anschauung.
Inwiefern trägt nun also die Anschauung zur Klärung der Frage nach der Tugend bei? Insofern sie an die Stelle der Definierbarkeit tritt: was wir anschauen können, brauchen wir nicht mehr zu definieren!
Im weiteren Dialogverlauf werden dann auch entsprechende Anschauungs-‚Objekte‘ für die Tugend vorgeführt: Themistokles, Aristides, Perikles, Thukydides. (Vgl. Menon, 93 St.-94 St.) Über die Tugendhaftigkeit dieser Männer besteht zwischen Anytos, mit dem Sokrates den Dialog an dieser Stelle fortführt, und Sokrates selbst kein Zweifel. Warum? Weil sie eine Definition von Tugend gefunden haben? Eben nicht! – Sondern nur, weil sie eine gemeinsame Anschauung von diesen Männern haben, die über jeden Zweifel erhaben ist.
Für die Lehrbarkeit von Tugend ist diese Anschauung aber keineswegs hilfreich. Denn soweit diese tugendhaften Männer Söhne hatten, waren sie nicht in der Lage, diese auch zur Tugend zu erziehen. Themistokles hat dabei bei seinem Sohn Kleophantos, der sich zum Tunichtgut entwickelt hatte, regelrecht versagt. Was ist das also für eine Art ‚Wissen‘, das auf Anschauung beruht, aber wegen fehlender Definierbarkeit nicht gelehrt werden kann? Sokrates schlägt vor, dieses Wissen als „wahre Meinung“ zu klassifizieren. Wir haben es also bei der Tugend mit einem Wissen zu tun, das auf Intuitionen beruht, was ja selbst wieder nur ein anderes Wort für ‚Anschauungen‘ ist.
Wir kommen also immer wieder auf den Aspekt des Anschauens zurück, wie eben auch die Auflösung der Frage in der Sklavenszene in einer geometrischen Demonstration besteht und nicht etwa in einer arithmetischen Formel. Wenn also angesichts der Eleganz der geometrischen Demonstration von Grenzen der Anschauung die Rede sein soll, dann liegen sie nicht in der Geometrie, sondern in der Tugend, bei der wir uns zwar auf das anschauliche Beispiel tugendhafter Männer durchaus einigen können, wo wir aber zugleich feststellen müssen, daß diese tugendhaften Männer es nicht geschafft haben, ihre Tugend an ihre Söhne weiterzugeben. Die Grenze der Anschauung liegt also darin, daß wir richtige bzw. ‚wahre‘ Intuitionen nur für uns selbst haben und sie nicht an andere weitergeben können.
Dennoch ‚gibt‛ es die Tugend, obwohl sie weder definiert noch gelehrt werden kann. Denn es gibt eine Form der Anschauung, die ‚Wissen‛ beinhaltet, also allgemeingültig ist, auch wenn sie nur individuell einsehbar ist. Dafür steht bei Platon die Seitenlänge des achtfüßigen Quadrates, so daß sie ganz ähnlich wie das Schöne bei Kant zu einen Symbol des Guten wird. Als solches hält die Geometrie die praktische Möglichkeit der Tugend offen, auch wenn keiner sagen kann, was sie ist.
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